Три шара касаются между собой и плоскостей двугранного угла. На одной из них точки касания образуют треугольник со стороной 5 единиц и прилегающими к ней углами α=arccos(4/5) и β=arctg(4/3). Найдите расстояние между точками касания самого маленького из шаров с плоскостями и угол между плоскостями двугранного угла.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим радиусы шаров как r1, r2 и r3, а расстояние между точками касания самого маленького шара и плоскостями как h.

Из треугольника, образованного точками касания на плоскости и центром самого маленького шара, можно найти, что h = r1 sin(α) = r1 √(1 - (4/5)^2) = r1 √(9/25) = (3/5) r1.

Также из задачи известно, что радиусы шаров касаются друг друга, поэтому можно записать следующее:

h + r1 + r2 = r3.

Также можно записать, что r1 + r2 = 5, поскольку сторона треугольника равна 5.

Заменим r2 в выражении h + r1 + r2 = r3:

h + r1 + 5 - r1 = r3,
h + 5 = r3.

Теперь у нас есть два выражения для h + 5 = r3 и h = (3/5) * r1.

Теперь найдем угол между плоскостями двугранного угла. Этот угол равен сумме углов α и β, то есть (arccos(4/5) + arctg(4/3)).

Итак, мы нашли, что расстояние между точками касания самого маленького шара и плоскостями равно 5, а угол между плоскостями двугранного угла равен (arccos(4/5) + arctg(4/3)).