Три стороны AB, BC и CK трапеции ABCK равны. Диагональ BK равна основанию AK. Найти угол BCK.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим сторону трапеции ABCK как а, диагональ BK как b и основание AK как c.

Так как стороны AB, BC и CK равны, то AB = BC = CK = a.

Также, из условия диагональ BK равна основанию AK, то b = c.

Рассмотрим треугольник BCK. У него две стороны равны (BC = CK = a) и третья равна диагонали BK (b). Так как у треугольника две стороны равны, то он равнобедренный.

Из свойств равнобедренного треугольника следует, что угол BCK равен углу BKC. Пусть этот угол равен x.

Тогда из теоремы косинусов для треугольника BCK:

a^2 = b^2 + b^2 - 2b^2cos(x),
a^2 = 4b^2 - 2b^2cos(x).

Из этого уравнения мы можем найти cos(x):

cos(x) = (4b^2 - a^2) / 2b^2,
cos(x) = (4c^2 - a^2) / 2c^2,
cos(x) = (4c^2 - a^2) / 2c^2.

Так как b = c, то:

cos(x) = (4b^2 - a^2) / 2b^2,
cos(x) = (4b^2 - a^2) / 2b^2,
cos(x) = (4b^2 - a^2) / 2b^2.

Подставим c в выражение выше и упростим:

cos(x) = (4b^2 - a^2) / 2b^2,
cos(x) = (4b^2 - a^2) / 2b^2,
cos(x) = (4b^2 - a^2) / 2b^2.

Из последнего уравнения, мы можем найти угол x:

cos(x) = (4b^2 - a^2) / 2b^2,
x = arccos((4b^2 - a^2) / 2b^2).

Итак, угол BCK равен arccos((4b^2 - a^2) / 2b^2).