В трапеции ABSD (AD параллельно BC) диагонали AC и BD перпендикулярны друг другу, AC=5 и BD=13. Найти расстояние между серединами оснований

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть O и O' - середины оснований трапеции ABSD, тогда по свойствам трапеции O и O' будут также серединами диагоналей AC и BD соответственно.

Так как AC и BD перпендикулярны друг другу, а O и O' - середины диагоналей, то OO' будет равна расстоянию между серединами оснований трапеции.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ACO'
AC^2 = AO^2 + CO'^
5^2 = AO^2 + (O'O/2)^2

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике BDO'
BD^2 = BO^2 + DO'^
13^2 = BO^2 + (O'O/2)^2

Так как AO = OB (так как O и O' - середины диагоналей), то можно записать следующее:

AO^2 + (O'O/2)^2 = BO^2 + (O'O/2)^2

Вычитаем первое уравнение из второго:

13^2 - 5^2 = BO^2 - AO^
BO^2 - AO^2 = 13^2 - 5^2 = 14
(BO - AO)(BO + AO) = 14
BO - AO = 12

Так как AO = OB, то BO - AO = BO - BO = 0

Итак, расстояние между серединами оснований трапеции ABSD равно 12.