В ромб ABCD вписана окружность радиуса 12. Она касается стороны BC в точке P, причем CP:PB=9:16. Найти площадь ромба

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть O - центр вписанной окружности.

Так как радиус окружности равен 12, то AO = BO = CO = DO = 12.

Пусть CP = 9x, PB = 16x, AC = a, BD = b. Тогда AB = a + b.

Так как OC перпендикулярен BC и является радиусом окружности, то OC = 12 и PC = 9x, PB = 16x. Из подобия треугольников OCP и PBC получаем:

$$\frac{OC}{PC} = \frac{BC}{PB}$$

$$\frac{12}{9x} = \frac{a + b}{16x}$$

$$16x \cdot 12 = 9x \cdot (a + b)$$

$$192x = 9x \cdot (a + b)$$

$$192 = 9(a + b)$$

$$a + b = \frac{192}{9} = 21 \tag{1}$$

Так как ABCD - ромб, то AC = BD = a.

Из равенства треугольников ACB и AOB получаем:

$$\frac{AC}{AO} = \frac{BC}{BO}$$

$$\frac{a}{12} = \frac{a + b}{12 + 12}$$

$$\frac{a}{12} = \frac{21}{24}$$

$$a = 21 \cdot \frac{12}{24} = 10.5$$

Так как AC = a = 10.5, а AD = a + b = 21, то площадь ромба ABCD равна

$$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 10.5 \cdot 21 = 110.25$$

Ответ: площадь ромба равна 110.25.