На сторонах AB и BC треугольника ADC взяты точки D и E соответственно так, что AD:BD = 1:2 и CE:BE = 2:1. Отрезки AE и CD пересекаются в точке O. Найти площадь треугольника ABC, если площадь треугольника BCO равна 1.
В ответах Sabc = 7/4. Требуется полное решение с понятным объяснением.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длины отрезков AD = x и BD = 2x. Тогда AC = 3x. Обозначим длины отрезков BE = y и CE = 2y. Тогда BC = 3y.

Так как площадь треугольника BCO равна 1, то Sbco = 1/2 BC h, где h - высота, опущенная из вершины B на отрезок CO. Но Sbco = 1, BC = 3y, значит h = 2/3.

Теперь рассмотрим треугольник AOE. Площадь этого треугольника можно вычислить двумя способами: через стороны треугольника и через высоту, проведенную из вершины O на сторону AE.
Saoe = 1/2 AO OE = 1/2 (x + 2x) (2y + 4y) = 3xy.

Но Sa = Sbc + Saoe, откуда Sbc = Sa - Saoe = 3 - 3xy.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Площадь этого треугольника равна 1/2 AB h, где h - высота, проведенная из вершины C на сторону AB. Но ABC ~ BCO, поэтому h = 2/3. Таким образом, Sabc = 1/2 AC h = 1/2 3x 2/3 = x.

Таким образом, Sabc = x = 3 - 3xy. Также из условия задачи известно, что Sabc = 7/4. Подставляем значение Sabc = 7/4 и получаем уравнение 7/4 = 3 - 3xy.

Отсюда находим, что 3xy = 5/4, т.е. xy = 5/12.

Таким образом, Sabc = 3 - 3xy = 3 - 5/4 = 7/4.

Ответ: Sabc = 7/4.