В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу в отношении 3:2. Найдите отношения проекций катетов на гипотенузу.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны x и y, гипотенуза равна z.

Тогда биссектриса делит гипотенузу в отношении 3:2, следовательно z = 3k + 2k = 5k (где k - это некоторое число).

По теореме Пифагора: x^2 + y^2 = z^2.

Также можно заметить, что биссектриса также является высотой прямоугольного треугольника, поэтому прямоугольный треугольник делится на два подобных прямоугольных треугольника. Тогда по подобным треугольникам отношение проекций катетов на гипотенузу равно отношению катетов самих по себе, то есть x:y.

Теперь можно записать все уравнения и найти отношение x:y:

x^2 + y^2 = (5k)^2,
x:y = 3:2.

Решив данные уравнения, получим x:y = 3:4.

Таким образом, отношение проекций катетов на гипотенузу равно 3:4.