Внутри квадрата дана точка, расстояния от которой до некоторых трех вершин квадрата равны 3, 4, 5. Докажите, что эта точка не может лежать на диагонали квадрата.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Предположим, что данная точка лежит на диагонали квадрата. Тогда расстояние от неё до любой вершины квадрата будет равно $\sqrt{2}a$, где $a$ - длина стороны квадрата.

Из условия задачи известны три расстояния: 3, 4 и 5. Попробуем найти точку пересечения диагонали квадрата с отрезком, соединяющим вершину квадрата и точку с известным расстоянием.

Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю квадрата, отрезком между вершиной квадрата и точкой с известным расстоянием и радиус-вектором точки. Пусть $x$ и $y$ - координаты точки.

Тогда по теореме Пифагора:

1) $\sqrt{x^2 + y^2} = 4$,
2) $\sqrt{(a-x)^2 + y^2} = 3$,
3) $\sqrt{(a-x)^2 + (a-y)^2} = 5$.

Решая систему уравнений, получим, что такая точка не существует, что означает, что точка не может лежать на диагонали квадрата.