В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AM и CH , причем AM:CH=3:4. Найдите меньшую сторону треугольника , если AC =8 , sin ∠B =[tex] \frac{\sqrt{55}}{8} [/tex].

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длины сторон треугольника через a, b и c (гипотенузу всегда обозначаем через c), а длины высот через h1 и h2. Так как AM:CH = 3:4, то AM/CH = 3/4. Также мы знаем, что AM = h2, а CH = h1. Поэтому h2/h1 = 3/4.

Так как AM и CH - высоты, то они перпендикулярны к стороне, на которую опущены. Значит, AM и CH делят сторону AC на отрезки длиной 3h2 и 4h1 соответственно. Это значит, что 3h2 + 4h1 = AC = 8.

Мы также знаем, что sinB = h2/c. Мы можем выразить h2 через b и sinB: h2 = b*sinB.

Таким образом, можем записать следующее
bsinB = 3h2
csinB = 4h1
3bsinB + 4csinB = 8.

Так как sinB = √55/8, мы можем подставить это в уравнение и решить его
3b(√55/8) + 4c(√55/8) = 8
3b√55 + 4c√55 = 64.

С другой стороны, мы знаем, что a^2 + b^2 = c^2 (по теореме Пифагора), и sinB = b/c. Подставим значения в это выражение
(√55/8)^2 + b^2 = 1
55/64 + b^2 = 1
b^2 = 1 - 55/64
b^2 = 9/64
b = 3/8.

Таким образом, меньшая сторона треугольника равна 3.