Основанием правильной пирамиды служит многоугольник, сумма внутренних углов которого равна 720°. Найти объем пирамиды, если ее боковое ребро равное l, составляет с высотой пирамиды 30°

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим сторону основания многоугольника через a, число сторон - n.

Так как сумма внутренних углов многоугольника равна 720°, то каждый угол многоугольника равен (n-2) * 180/n градусов. Поскольку многоугольник является основанием пирамиды, в который вписан равносторонний n-угольник, то каждый внутренний угол многоугольника равен 360/n градусов. Следовательно

360/n = (n-2) * 180/n

360/n = 180 - 360/n

720/n = 180

n = 4

Таким образом, основание пирамиды является четырехугольником, то есть квадрат.

Рассмотрим треугольник, пирамида которого равнобедренная, с углом при вершине 30° и основанием квадратом со стороной a.

По теореме косинусов найдем сторону треугольника, противолежащую углу в 30°:

cos(30°) = l/2а

l = 2a cos(30°) = a sqrt(3)

Таким образом, боковое ребро пирамиды равно a sqrt(3), а высота равна a sin(30°) = a / 2.

Теперь можем записать объем пирамиды:

V = (1/3) S_осн h,

где S_осн - площадь основания, h - высота.

S_осн = a^2

h = a/2

V = (1/3) a^2 a/2 = a^3 / 6.

Подставляем a = l / sqrt(3):

V = (l^3 / 6) / 3 = l^3 / 18.

Итак, объем пирамиды равен l^3 / 18.