В прямоугольном треугольнике DCE с прямым углом C проведена биссектриса EF, причём FC = 13 см. Найдите растояние от точки F до прямой DE.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку EF - биссектриса, то угол CEF равен углу ECF, что означает, что треугольник CEF равнобедренный. Поэтому CE = CF = 13 см.

Так как треугольник DCE - прямоугольный, то CD = CE = 13 см.

Теперь мы можем найти радиус вписанной окружности для треугольника DCE, используя формулу радиуса вписанной окружности - r = S/p, где S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника.

S = 1/2 DE CD = 1/2 DE 13
p = (DE + CE + CD)/2 = (DE + 13 + 13)/2 = (DE + 26)/2

r = (1/2 DE 13) / ((DE + 26)/2) = (DE * 13) / (DE + 26)

Также из равнобедренности треугольника CEF можно сделать вывод, что EF - медиана и высота треугольника DCE. Поэтому площадь треугольника DCE можно выразить двумя способами:

S = 1/2 DE CF = 1/2 DE 13
S = r p = (DE 13) / (DE + 26) (DE + 26)/2 = DE 13 / 2

Из этого получаем, что 1/2 DE 13 = DE * 13 / 2

Сокращаем на 13 и получаем DE = DE, что является истиной.

Таким образом, растояние от точки F до прямой DE равно 13 см.