В правильной четырехугольной пирамиде диагональное сечение -правильный треугольник.Найдите объем пирамиды,если ее боковое ребро=12см. (с рисунком)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем высоту пирамиды. Рассмотрим следующий рисунок:

Пусть точки A, B, C - вершины основания пирамиды, высота пирамиды h, точка D - вершина пирамиды. Так как диагональное сечение - равносторонний треугольник, то точки A, B, D образуют прямоугольный треугольник.

По определнию прямоугольного треугольника: AD^2 = AB^2 - BD^2. Так как AB = 12 см, то BD = 6 см(половина бокового ребра).

Так как треугольник ABD - прямоугольный, то применяем теорему Пифагора: h^2 = 6^2 + 12^2 = 36 + 144 = 180. Отсюда h = √180 = 6√5.

Теперь, найдем объем пирамиды. Пирамида равна четырем тетраэдрам своего же размера, объем каждого из которых равен (1/3)Ah, где A - площадь основания пирамиды (равногранного треугольника).

Площадь треугольника равна (1/2) основание высота. А так как основанием является равносторонний треугольник, то площадь основания равна (1/2) a sin(60), где a - длина стороны основания.

Таким образом, A = (1/2) 12 6√5 * sin(60) = 36√5.

Теперь находим объем пирамиды: V = 4 (1/3) (36√5) * 6√5 = 288.

Итак, объем пирамиды равен 288 кубическим сантиметрам.