В окружность, радиус которой 4см, вписан равносторонний треугольник. Найдите периметр треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим сторону равностороннего треугольника через а. Так как данный треугольник вписан в окружность, то он описывает полный оборот вокруг центра окружности, поэтому радиус окружности равен а/3 (a/3 - это расстояние от центра окружности до середины стороны треугольника).

Используя теорему Пифагора для правильного треугольника, находим высоту h треугольника:
(h^2 = a^2 - (\frac{a}{2})^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4})
(h = \frac{a\sqrt{3}}{2})

Так как вписанный треугольник делит острый угол окружности на 3 равные дуги, то угол треугольника при вершине равен 120 градусам. Также этот угол является центральным углом для отрезка, проведенного к середине стороны треугольника. Отсюда следует, что угол треугольника при основании равен 60 градусов.

Таким образом, для треугольника выполняется:
(tg(\frac{30^{\circ}}{2}) = \frac{h}{\frac{a}{2}})
(tg(15^{\circ}) = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a}{2}})
(tg(15^{\circ}) = \sqrt{3})
(a = \frac{4}{\sqrt{3}}) (так как радиус окружности равен 4 см)

Периметр равностороннего треугольника равен:
(P = 3 \cdot a = 3 \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3})

Итак, периметр треугольника равен (4\sqrt{3}) см.