Окружности радиусов 12 и 20 касаютаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности точки С и D - на второй. При этом АС и ВD - общие касательные окружности. Найдите расстояние между прямыми АВ иСD

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть O1 и O2 - центры первой и второй окружностей соответственно, M - точка касания окружностей.
Так как О1 и О2 лежат на линии, проходящей через точку М, то M является серединой отрезка O1O2.
Поскольку О1М = 12, O2М = 20, то O1О2 = 12 + 20 = 32.
Треугольник O1МО2 - равнобедренный и прямоугольный, поэтому он распадается на два прямоугольных треугольника O1МС и O2MD.
Из свойств прямоугольных треугольников можно утверждать, что прямая АВ параллельна прямой CD, и расстояние между АВ и CD равно |AM - MD|.
AM = O1М - О1А = 12 - О1А, MD = O2М + O2D = 20 + O1D.
Расстояние между прямыми равно
|AM - MD| = |(12 - О1А) - (20 + O1D)| = |12 - 20 - О1А - O1D| = |32 - O1А - O1D|.

Теперь, так как 32 - 2О1А = 2О1D (O1А = O1D = x, x меньше 12),
то либо O1А = 11, О1D = 11, тогда расстояние между прямыми равно 10,
либо O1А = 9, О1D = 9, тогда расстояние между прямыми равно 14.

Таким образом, расстояние между прямыми АВ и СD равно 10 или 14.