Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность
в точках B и C, причём AB=3, AC=12. Найдите AK.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что по условию окружность касается прямой AK в точке K, значит отрезок AK является радиусом окружности. Обозначим радиус окружности как r. Тогда AK = r.

Также заметим, что отрезки AK и KB являются касательными от точки K, значит AB и KC являются секущими и выполняется следующее свойство секущих:
ABAC = KBKC.

Теперь мы можем записать уравнение:
312 = AK(AK + 3),
36 = r*(r + 3),
r^2 + 3r - 36 = 0,
(r + 3)(r - 12) = 0.

Так как r - это длина радиуса, которая не может быть отрицательной, выражение r = -3 не подходит, значит r = 12. Значит AK = 12.