В окружность радиуса 13 с центром в точке о вписан четырёхугольник авсд диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекается в точки К.Найдите площадь четырёхугольника если АС=18 ОК=4 √6

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь четырехугольника ABCD равна произведению половины произведения его диагоналей.

По условию задачи, диагонали перпендикулярны, поэтому треугольники ABC и CDA прямоугольные. По теореме Пифагора:
AB² + BC² = AC²,
DC² + DA² = AC².

Так как AC = 18, то AB² + BC² = 18² = 324
DC² + DA² = 324.

Также, AD = CD = ОК = 4√6.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABC и CDA. Пусть BC = x и AB = 18 - x.
Из треугольников ABC и CDA следует, что:
x² + (18 - x)² = 324
x² + 324 - 36x + x² = 324
2x² - 36x + 324 = 0
x² - 18x + 162 = 0
D = (-18)² - 4 1 162 = 324
x1 = (18 + √324) / 2 = 9 + 9√3
x2 = (18 - √324) / 2 = 9 - 9√3

Таким образом, BC = AB = 9 + 9√3 и AD = CD = 4√6.

Теперь найдем длину диагонали AC в треугольнике ABC:
AC² = AB² + BC²
AC² = (9 + 9√3)² + (9 + 9√3)²
AC² = 2 * (9 + 9√3)²
AC = 18 + 18√3

Найдем площадь четырехугольника ABCD:
S = ½ AC BD
BD = 2 AD = 2 4√6 = 8√6
S = ½ (18 + 18√3) 8√6
S = 72√6 + 72√18
S = 72√6 + 72 * 3√2
S = 72√6 + 216√2

Таким образом, площадь четырехугольника ABCD равна 72√6 + 216√2.