В треугольнике, две стороны которого равны a и b, сумма высот, опущенных на эти стороны, равна третьей высоте. Найти третью сторону, если а=4, b=6.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия задачи можем записать следующее:

h1 + h2 = h3

где h1 и h2 - высоты, опущенные на стороны a и b, а h3 - высота, опущенная на третью сторону.

Высоту треугольника можно найти по формуле:

h = 2 * S / c

где S - площадь треугольника, c - сторона, на которую опущена высота.

Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

S = sqrt(p (p - a) (p - b) * (p - c))

где p - полупериметр треугольника.

Для треугольника со сторонами a = 4 и b = 6:

p = (a + b + c) / 2 = (4 + 6 + c) / 2 = (10 + c) / 2 = 5 + c/2

S = sqrt(5 (5 - 4) (5 - 6) (5 - c)) = sqrt(5 1 (-1) (5 - c)) = sqrt(-5 * (5 - c))

Так как S - площадь треугольника всегда положительна, то выражение -5 * (5 - c) должно быть положительным, отсюда следует, что

c > 5

Теперь найдем высоты h1, h2 и h3 по формуле.

Для стороны a = 4:

h1 = 2 S / a = 2 sqrt(5 (5 - c)) / 4 = sqrt(5 (5 - c)) / 2

Для стороны b = 6:

h2 = 2 S / b = 2 sqrt(5 (5 - c)) / 6 = sqrt(5 (5 - c)) / 3

Для стороны c:

h3 = 2 S / c = 2 sqrt(5 (5 - c)) / c = sqrt(5 (5 - c)) / (c / 2)

Так как по условию задачи h1 + h2 = h3, то:

sqrt(5 (5 - c)) / 2 + sqrt(5 (5 - c)) / 3 = sqrt(5 * (5 - c)) / (c / 2)

Умножим все части уравнения на 6c:

3c sqrt(5 (5 - c)) + 2c sqrt(5 (5 - c)) = 6 sqrt(5 (5 - c))

5c sqrt(5 (5 - c)) = 6 sqrt(5 (5 - c))

5c = 6

c = 6 / 5 = 1.2

Таким образом, третья сторона треугольника равна 1.2.