Основанием пирамиды PABCD является ромб ABCD с меньшей диагональю AC. Ребро PD перпендикулярно плоскости основания.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, параллельной AC и проходящей через вершину D и середину M ребра PB.
б) Найдите расстояние между прямыми CD и PB, если BC=5SQRT(2), PD=12, угол ABC=45 градусов.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Сначала найдем точку M, которая является серединой отрезка PB. Так как PABCD - ромб, то MP = MB и MA = MC. Обозначим длину отрезка PB как x. Тогда MB = x/2. Так как AB = BC и угол ABC равен 45 градусов, то треугольник ABC является равносторонним и сторона AB = BC = 5sqrt(2). Тогда AM = MC = 5sqrt(2)/2. Так как треугольник PMA - прямоугольный, то применяя теорему Пифагора, получаем PM = sqrt((5*sqrt(2)/2)^2 + (x/2)^2).

Затем проведем плоскость, параллельную AC и проходящую через точки D и M. Это плоскость параллельна основанию пирамиды PABCD. Точка пересечения этой плоскости с ребром PD обозначается как N. Точка N деляет ребро PD на две части - PN и ND. Так как треугольник PND прямоугольный, то применяя теорему Пифагора, получаем PD = sqrt(PN^2 + ND^2). Так как NP = PM, а MD = DP - PM, то PD = sqrt(PM^2 + (DP - PM)^2).

б) Теперь найдем расстояние между прямыми CD и PB. Для этого найдем расстояние от точки P до прямой CD. Так как PD перпендикулярно плоскости основания, то расстояние от точки P до прямой CD равно PN. Так как треугольник PND прямоугольный, то PN равно ND.

Итак, мы нашли, что расстояние между прямыми CD и PB равно ND. В то же время, мы уже выразили ND через длину стороны ромба и длину отрезка PB. Таким образом, подставив найденные выражения в данные формулы и решив их, можно найти искомое расстояние.