Найти площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки длиной 9 см и 16 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Пусть биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки длиной 9 см и 16 см. По теореме о равенстве треугольников, мы можем утверждать, что биссектриса является медианой и высотой треугольника. Таким образом, прямоугольный треугольник будет разделен на два прямоугольных треугольника, которые подобны заданному.

Пусть x - длина катета, который содержит меньший из двух острых углов треугольника.

Тогда, по теореме Пифагора, для каждого из треугольников мы можем записать:

x^2 + 9^2 = y^2,
x^2 + 16^2 = z^2.

Отсюда, y^2 - x^2 = 81, z^2 - x^2 = 256.

Вычитая первое уравнение из второго, получаем:

z^2 - y^2 = 175,
(z + y)(z - y) = 175.

Так как z > y, мы можем представить 175 в виде произведения двух чисел: 25 и 7. Из этого следует, что z + y = 25, z - y = 7.

Решая систему уравнений, найдем z = 16 и y = 9.

Теперь, чтобы найти длину катета x, можем использовать одно из уравнений изначально заданных: x^2 + 9^2 = y^2. Подставив значения, найдем x = 6.

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника S = (6 * 9) / 2 = 27 см^2.