Диагонали выпуклого четырехугольника равны a и b, угол между ними 45°. Найдите отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон четырехугольника

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть ABCD - данный четырехугольник, a и b - диагонали, M и N - середины сторон AD и BC соответственно, а P и Q - точки пересечения диагоналей.

Так как ABCD - выпуклый четырехугольник, то угол между диагоналями равен 45°. Тогда треугольники AMP и BMP равнобедренные, так как AM = MP и BM = MP (как середины сторон). Аналогично, треугольники BNQ и DMQ равнобедренные.

Итак, AM = MP, BM = MP, BN = NQ, DQ = QM, MP = MQ, BP = PN.

Теперь можем записать равенства, используя теорему Пифагора:
AP^2 = AM^2 + MP^2 = (\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}=\frac{a^2+b^2}{2})
BP^2 = BM^2 + MP^2 = (\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}=\frac{a^2+b^2}{2})
DP^2 = DM^2 + MP^2 = (\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}=\frac{a^2+b^2}{2})
CP^2 = CN^2 + NP^2 = (\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}=\frac{a^2+b^2}{2})

Таким образом, отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон четырехугольника, равны (\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}).