Дан куб ABCDA1B1C1D1 с длиной ребра 1 ед. изм.
На ребре A1D1 находится точка M так, что A1M:MD1=2:3.
Определи синус угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью(BB1D1D).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения синуса угла φ между прямой AM и диагональной плоскостью (BB1D1D) нам нужно сначала найти косинус угла между этой плоскостью и прямой AM. Затем с помощью тригонометрических соотношений мы сможем найти синус этого угла.

Найдем косинус угла между прямой AM и плоскостью (BB1D1D). Для этого найдем проекцию вектора AB1 (коллинеарного прямой AM) на вектор DB1 (нормальный к плоскости (BB1D1D)):

AB1 = AM + M1B1 = AM + 0.2D1B1 (требуется по условию)
DB1 = D1B1

AB1 DB1 = |AB1| |DB1| * cos(α),
где α - угол между векторами AB1 и DB1.

|AB1| = sqrt(AM^2 + |M1B1|^2) = sqrt(AM^2 + 0.2^2) = sqrt(AM^2 + 0.04),
|DB1| = sqrt(1^2 + 1^2 + 0.2^2) = sqrt(1.04).

Составим уравнение проекции:
AM D1B1 = |AB1| |DB1| cos(α).
AM 1 = sqrt(AM^2 + 0.04) sqrt(1.04) cos(α),
AM = sqrt(AM^2 + 0.04) sqrt(1.04) cos(α),
AM = sqrt(AM^2 + 0.04) sqrt(1.04) (AB1 DB1) / |AB1| |DB1|.

Теперь найдем AM:
AM = sqrt(AM^2 + 0.04) sqrt(1.04) (2 / 5) / sqrt(AM^2 + 0.04) sqrt(1.04),
AM = sqrt(1.04) (2 / 5).

Теперь найдем косинус угла φ:
cos(φ) = AM / |AM| = sqrt(1.04) * (2 / 5) / (2 / 5),
cos(φ) = sqrt(1.04).

Наконец, найдем синус угла φ с помощью теоремы Пифагора:
sin(φ) = sqrt(1 - cos^2(φ)) = sqrt(1 - 1.04) = sqrt(0.04) = 0.2.

Таким образом, синус угла φ между прямой AM и диагональной плоскостью (BB1D1D) равен 0.2.