В равнобедренное трапеции ABCD (AK||BC) диагональ AC является биссектрисой угла A. Известно, что угол B=150 градусов, AK=c, BC=p. Найдите площадь трапеции.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку угол B равен 150 градусам, то угол A равен 180 - 150 = 30 градусов. Так как AC является биссектрисой угла A, то угол CAD равен 15 градусам, а угол DAB также равен 15 градусам.

Теперь рассмотрим треугольник ACD. По теореме синусов:
AC/sin(CAD) = c/sin(ADC)
AC/sin(15) = c/sin(135)
AC = c * sin(15) / sin(135)

В прямоугольном треугольнике AKD:
KD = c * cos(15)

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Найдем длину диагонали BD:
BD = √(AB^2 + AD^2)
BD = √(2 KD)^2 + (p - c)^2)
BD = √(4c^2 cos^2(15) + (p - c)^2)

Площадь трапеции ABCD равна сумме площадей треугольников ACD и ABC:
S = 1/2 AC BD + 1/2 AB h
S = 1/2 (c sin(15) / sin(135)) √(4c^2 cos^2(15) + (p - c)^2) + 1/2 2 c sin(15) cos(15)
S = 1/2 c √(4c^2 cos^2(15) + (p - c)^2) tan(15) + c sin(30)
S = 1/2 c √(4c^2 cos^2(15) + (p - c)^2) tan(15) + c 1/2
S = 1/2 c √(4c^2 cos^2(15) + (p - c)^2) tan(15) + c / 2

Таким образом, площадь трапеции ABCD равна 1/2 c √(4c^2 cos^2(15) + (p - c)^2) tan(15) + c / 2.