Ребро правильного тетраэдра mabc равно 18. Точки P и K являются соответственно серединами рёбер AM и BM, а точка T делит ребро MC в отношении MT:TC=4:1. Найдите расстояние от вершин A, B и C до общей прямой плоскостей TPK и ABC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим координаты точек: A(0,0,0), B(18,0,0), C(x,y,z), M(9,0,0), P(4.5,0,0), K(13.5,0,0), T(9,t,0). Найдем координаты точки T: MT:TC = 4:1, следовательно м = 4, c = 5 => T(9,4t/(4+5),0), тогда T(9,4t/9,0). Уравнение прямой TPK через точку T(9,4t/9,0) и вектор TP(-4.5,0,0) равно (x-9)/(-4.5) = y/(0) = z/(0), тогда x = 9 - 4.5t, z = 0. Вектор нормали прямой ABC направлен так, чтобы его проекции на оси равнялись соответственно 1:1:1. Таким образом, вектор нормали (1,1,1). Так как прямые TPK и ABC пересекаются, значит векторы нормалей прямых коллинеарны. То есть найдём уравнение плоскости ABC, проходящей через точку A и нормалью которой является вектор (1,1,1). Уравнение получим x + y + z = 0 или x + y + z - 0 = 0. Подставим туда координаты точки A, B и C: A(0,0,0), B(18,0,0), C(18t,9t,9t). Так как точки A, B и C лежат в плоскости, а также прямая TPK пересекает плоскость ABC, то длина проведенной из вершин тетраэдра в общую плоскоть будет равна расстоянию от вершины до плоскости. Таким образом, расстояние от вершины A до плоскости TPK равно |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2). Подставляя координаты вершины A, получаем |0 + 0 + 0 - 0| / sqrt(1^2 + 1^2 + 1^2) = 0. Аналогично для вершины B получаем 18 / sqrt(1^2 + 1^2 + 1^2) = 18 / sqrt(3). Для вершины C получаем 18t / sqrt(1^2 + 1^2 + 1^2) = 18t / sqrt(3).