В параллелограмме диагонали длиной 6√2 см и 14 см пересекаются под
углом 45°. Найдите меньшую сторону параллелограмма.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть a и b - стороны параллелограмма, перпендикулярные диагоналям, а d1 и d2 - диагонали параллелограмма.
Из условия мы знаем, что d1 = 6√2, d2 = 14 и угол между диагоналями равен 45°.

Так как диагонали параллелограмма делятся друг на друга пополам,
то найдем половину меньшей стороны параллелограмма по формуле косинусов
d1^2 + d2^2 = 2a^2 + 2b^2,
(6√2)^2 + 14^2 = 2(a^2 + b^2),
72 + 196 = 2(a^2 + b^2),
268 = 2(a^2 + b^2),
134 = a^2 + b^2.

Теперь найдем косинус угла между диагоналями по теореме косинусов
d1^2 + d2^2 - 2d1d2cos(45°) = 2(a^2 + b^2),
(6√2)^2 + 14^2 - 26√214cos(45°) = 268,
72 + 196 - 168 = 268,
268 - 168 = 268,
100 = 268,
cos(45°) = 1 - 100/(26√214) = 1 - 100/168 = -33/84.

Теперь найдем меньшую сторону параллелограмма, a:
cos(45°) = (a^2 + b^2 - d1^2)/(2ab) = -33/84,
-33/84 = (a^2 + b^2 - 72)/(2ab),
a^2 + b^2 - 72 = -33ab/42,
a^2 + b^2 - 72 = -11ab/14,
134 - 72 = -11a√((134 - a^2)/11)/14,
62 = -11√((134 - a^2)/11)/14,
1462 = -11√((134 - a^2)/11),
868 = -√((134 - a^2)/11),
868^2 = 134 - a^2,
751424 = 134 - a^2,
a^2 = 134 - 751424,
a^2 = 751290,
a = √751290,
a ≈ 274.

Таким образом, меньшая сторона параллелограмма равна приблизительно 274 см.