В трапеции ABCD основания AD и BC относятся как 3:1. Диагонали трапеции пересекаются в точке О. Докажите, что DE меньше 2/3DA+1/2DC, если точка E- середина стороны AB

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть AD = 3x, BC = x.

Так как точка E является серединой стороны AB, то AE = EB = 1/2AB. Также из условия мы знаем, что AD = 3x и AB = AD + DC, то есть AB = 3x + x = 4x. Следовательно, AE = EB = 1/2 * 4x = 2x.

Так как точка E является серединой стороны AB, то в треугольнике AED точка O делит медиану AE в отношении 2:1, а значит EO = 1/3 * AE = 2x/3.

Из подобия треугольников EOD и DAC следует, что EO : DO = EA : AD, то есть 2x/3 : DO = 2x : 3x, или DO = 3x.

Теперь посчитаем DE:

DE = DO + EO = 3x + 2x/3 = 9x/3 + 2x/3 = 11x/3.

Теперь рассмотрим выражение 2/3DA + 1/2DC:

2/3 3x + 1/2 x = 2x + 1/2x = 5/2x.

Для того чтобы доказать, что DE < 2/3DA + 1/2DC, проверим неравенство:

11x/3 < 5/2x.
Умножим обе части неравенства на 6 (общий знаменатель):
22x < 15x.
Поскольку x - положительное число, то мы можем сократить обе части неравенства на x:
22 < 15.
Так как 22 больше 15, неравенство верно.

Таким образом, мы доказали, что DE меньше, чем 2/3 DA + 1/2 DC при условии, что точка E является серединой стороны AB.