На окружности с центром в точки A взята точка B.Известно что окружность с центром в точке B проходит через точку A. Пусть C точка пересеченияэтих двух окружностей. найдите угол ABC

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения угла ABC, нам необходимо найти центр окружности с центром в точке B.

Пусть радиус окружности с центром в точке A равен r1, а радиус окружности с центром в точке B равен r2.

Так как окружность с центром в точке B проходит через точку A, то растояние между точками A и B равно r1 + r2.

Пусть D - середина AB. Тогда BD = AD = r1 / 2 + r2 / 2. Проведем отрезок DC.

Треугольник BDC - прямоугольный со сторонами BD и DC. По теореме Пифагора найдем значенеи DC:

DC^2 = BD^2 + BC^2
DC^2 = (r1/2 + r2/2)^2 + (r1 + r2)^2
DC^2 = (r1^2 + 2r1r2 + r2^2) / 4 + (r1^2 + 2r1r2 + r2^2)
DC^2 = 2r1^2 + 4r1r2 + 2r2^2

DC = sqrt{2r1^2 + 4r1r2 + 2r2^2} = sqrt{2(r1 + r2)^2} = sqrt{2 * (r1 + r2)} = sqrt{2r}

Теперь найдем угол ABC:

tg(ABC) = DC / BD
tg(ABC) = sqrt{2r} / (r1 / 2 + r2 / 2)

tg(ABC) = sqrt{2r} / ((r1 + r2) / 2)
tg(ABC) = 2 * sqrt{2r} / (r1 + r2)

Следовательно угол ABC равен tg^(-1)(2 * sqrt{2r} / (r1 + r2))