Сторона АС треугольника ABC точкой Е делится в отношении 2:3 докажите что ВЕ делит площадь треугольника в отношении 2:3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Пусть отрезок AE делит сторону AC в отношении 2:3, то есть AE:EC = 2:3.

Так как отношение сторон AE и AC равно 2:3, то площади треугольников ABE и ACE также будут в отношении 2:3. Действительно, пусть h_AB и h_AC - высоты треугольников ABE и ACE на сторону AE соответственно. Тогда площади треугольников ABE и ACE будут равны:
S_ABE = (1/2)ABh_AB
S_ACE = (1/2)ACh_AC

Из отношения AE:EC = 2:3 следует, что h_AB/h_AC = AE/EC = 2/3. Таким образом, h_AB и h_AC тоже будут в отношении 2:3.

Подставим h_AB = 2k и h_AC = 3k, где k - некоторая постоянная. Тогда площади треугольников ABE и ACE можно записать как:
S_ABE = (1/2)AB2k = kAB
S_ACE = (1/2)AC3k = 3kAC

Таким образом, площадь треугольника ABE к площади треугольника ACE равна kAB/(3kAC) = AB/(3*AC) = 2/3, что и требовалось доказать.