1- задача.
Дано: треугольник АВС. BD- биссектриса, АС- сторона треугольника AD=m, DC=n отрезки. Используйте площадь и докажите что \frac{AB}{m}= \frac{BC}{n}
2-задача
В равнобедренной трапеции большее основание равно 64 м, прилежащий к нему угол равен 60градусов, а боковая сторона-14м. Какова площадь этого участка? Ответ запишите в арах с точностью до 0,1 а.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия задачи мы знаем, что BD - биссектриса треугольника ABC, тогда угол ABD равен углу CBD. Пусть высота треугольника из точки D опущена на сторону AB и пересекает ее в точке E. Тогда треугольник ADE подобен треугольнику CBD по двум углам, значит, мы можем написать:

\frac{AB}{m}=\frac{DE}{BD}

Также из подобия треугольников ADE и DCB по двум углам получаем:

\frac{AB}{m}=\frac{DE}{BD}=\frac{AE}{DC}=\frac{BE}{BC}

Соединим точку D с вершинами треугольника ABC. Рассмотрим треугольник ADB и прямоугольники ADEC и BDEC. Очевидно, что площадь этих фигур равна:

S_{ADB}=\frac{1}{2}ABm

S{ADEC}=S{BDEC}=S_{BDC}=\frac{1}{2}DCBD

Таким образом, мы можем записать:

\frac{ABm}{2}=\frac{BDDC}{2}

Отсюда получаем:

\frac{AB}{m}=\frac{BDDC}{BDm}=\frac{DC}{m}=\frac{BC}{n}

2.
Пусть H - вершина трапеции, а A и B - середины оснований. Так как угол при основании трапеции равен 60 градусам, то угол между основанием и боковой стороной равен 120 градусам. Построим биссектрису угла при вершине H. Эта биссектриса будет являться также высотой трапеции.

Получаем два равнобедренных треугольника HDA и HDB и один равносторонний треугольник AHB. Пусть сторона меньшего основания тропеции равна а, тогда:

BD=DA=a
HB=HA=\frac{a}{2}
AD=HB=HA=\frac{a}{2}

Обозначим высоту трапеции через h. Тогда:

h=\frac{a}{2}tg(60^{\circ})=\frac{a\sqrt{3}}{2}

Площадь участка между описанным кругом и трапецией равна разности площадей сегмента и равнобедренного треугольника BHD. Посчитаем площадь сегмента:

S{сегмента} = S{сектора OHD}-S{BHD} = \frac{1}{6}{\pi}{OH^2}-S{\triangle BHD}

S_{сегмента} = \frac{1}{6}{\pi}{(2h)}^2-\frac{1}{2}a*h

Подставляем значения и получаем S_{сегмента} \approx 107,5 м^2

Ответ: 107,5 м².