В правильной четырёхугольной призме MNPQM1N1P1Q1 сторона основания равна 11, а боковое ребро 15. На рёбрах M1Q1, M1N1 и PQ взяты точки X, Y, Z соответственно так, что Q1X = N1Y = QZ =5. Докажите, что XYZC прямоугольник

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что M1N1P1Q1 - прямоугольник, так как сторона основания (MN) параллельна боковой грани (M1Q1) и равна ей.

Теперь обратим внимание на треугольники MNQ и M1Q1. Они равнобедренные, так как сторона основания (MN) равна стороне основания (M1Q1) и параллельна ей, а также стороны (MQ) и (M1Q1) являются боковыми гранями призмы и равны между собой.

Итак, у треугольника MNQ и M1Q1 у нас равны два угла: угол M и углы при основании. По условию нам дана равенство сторон Q1X = N1Y = QZ = 5.
Заметим, что точка Z - середина PQ. Значит, основание MN делим пополам.

Таким образом, мы имеем равные квадраты: MQXZ и M1NYQ1. Значит, MQ = M1Q1, XZ = NY и у них также равны углы.

Поэтому треугольники MQX и M1N1Y равны между собой, значит у них равны углы. Т.\:к. треугольники MQX и M1N1Y равны между собой, у них равны углы XQN и YN1M1. Треугольники XQN и YN1M1 равны между собой по первому правилу признака равенства треугольников об одной стороне и двух прилежащих к ней углах. Так как они равны, у них равны и наклоняющиеся к X и Y стороны QN и N1M1. Значит, эти стороны параллельны сторонам NM и QM1 призмы.

Отсюда следует, что прямоугольник XYZC это, на самом деле, прямоугольник.