Дано: треугольник АВС. BD- биссектриса, АС- сторона треугольника AD=m, DC=n отрезки. Используйте площадь и докажите что \frac{AB}{m} =\frac{BC}{n}

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Известно, что биссектриса треугольника делит противоположную ей сторону в отношении сторон треугольника. То есть \frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}.

Также известно, что площадь треугольника равна половине произведения стороны на биссектрису, опущенную на эту сторону.

Поэтому S(ABD)=\frac{1}{2}ABBD и S(ADC)=\frac{1}{2}ACCD, обзовем их уравнения (1) и (2) соответственно.

Также известно, что S(ABD)=S(ADC), поэтому по уравнениям (1) и (2) имеем ABBD=ACCD.

Так как \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}, то можно записать AB=\frac{BD*AC}{CD}.

Таким образом, AB=\frac{BDAC}{CD}=\frac{m}{n}BC.

А значит, \frac{AB}{m}=\frac{BC}{n}, что и требовалось доказать.