В трапeции углы при одной из основ равны 40 ° и 50 °, а длина отрезка, соединяющего сeрeдины оснований, 2 см. Найдите основания трапeции, если ее сeрeдня линия равна 5 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть основания трапеции равны a и b, а высота - h. Тогда средняя линия трапеции равна (a + b) / 2.

Из условия задачи:
(a + b) / 2 = 5

Также, с помощью теоремы косинусов найдем длину боковой стороны трапеции:

h^2 = 2^2 + ((a - b) / 2)^2 - 2 2 ((a - b) / 2) * cos(40)

h^2 = 4 + (a^2 + b^2 - 2ab) / 4 - (a^2 - 2ab + b^2)cos(40)

h^2 = 4 + (a^2 + b^2 - 2ab) / 4 - (a^2 - 2ab + b^2) * (sqrt(3) / 2)

h^2 = 4 + (a^2 + b^2 - 2ab) / 4 - ((a - b)^2 - 2ab) / 2

h^2 = 4 + (a^2 + b^2 - 2ab) / 4 - (a^2 - 2ab + b^2) / 2

h^2 = 4 + a^2 / 4 + b^2 / 4 - ab / 2 - a^2 / 2 + ab - b^2 / 2

h^2 = 3a^2 / 4 - ab + 3b^2 / 4

Теперь найдем угол, противолежащий боковой стороне (cos угла при остром угле равен половине боковой стороны, деленной на среднюю линию):

cos(50) = ((a - b) / 2) / 5
(a - b) = 10 * cos(50)

Теперь можем составить систему уравнений:

(a + b) / 2 = 5
h^2 = 3a^2 / 4 - ab + 3b^2 / 4
(a - b) = 10 * cos(50)

Решая эту систему, получим:
a = 7.14 см
b = 2.86 см

Итак, основания трапеции равны 7.14 см и 2.86 см.