К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ABC, проведена касательная, которая пересекает боковые стороны AB и BC в точках P и K соответственно. Найдите боковую сторону треугольника ABC, если периметр треугольника BPK равен 8 см и AC = 12 см

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим через a боковую сторону равнобедренного треугольника ABC. Так как треугольник ABC равнобедренный, то BP = BK = a. Поскольку BPK является прямоугольным треугольником, то BP^2 + BK^2 = PK^2, отсюда a^2 + a^2 = PK^2 => 2a^2 = PK^2. Так как периметр треугольника BPK равен 8 см, то a + 2a + PK = 8 => 3a + PK = 8.

Теперь обратимся к треугольнику ABC. Так как он равнобедренный, то AC = 12 см, и так как касательная к окружности, вписанной в треугольник ABC, пересекает его в точке касания T, то AT = CT.

Исходя из этого, ПК + 2AT = 3a + PK = 8. Если ПК = 2а, то после замены мы получим

3а + 2а = 8, следовательно, 5а = 8, а = 8/5 = 1,6 см.

Итак, боковая сторона равнобедренного треугольника ABC равна 1,6 см.