Через вершину А в равностороннем треугольнике АВС проходит прямая l, образующая с плоскостью треугольника угол 60°. Определите расстояние между этой прямой и стороной ВС, если l образует со сторонами АВ и ВС равные углы.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка пересечения прямой l с стороной ВС треугольника равносторонний треугольник АВС равна D.

Так как прямая l образует со стороной ВС угол 60 градусов, то угол между стороной ВС и прямой l равен 120 градусам.

Также, так как прямая l образует со сторонами АВ и ВС равные углы, то уголы BAD и DAC также равны. Значит, треугольник АBD подобен треугольнику DCA по признаку общего угла.

Так как треугольник АВС равносторонний, то угол BAC равен 60 градусов, а угол BAD равен углу DAC, то есть углу ACD, также равен 60 градусов.

Таким образом, треугольник DCA также равносторонний, и сторона DC равна DА.

Теперь можем записать уравнение прямой l в виде уравнения прямой в пространстве:

DC(t) = D + t*n, где t - параметр, а n - направляющий вектор прямой l.

Так как угол между прямой l и стороной ВС равен 120 градусам, то направляющий вектор n будет параллелен стороне ВС и образует с нею угол 120 градусов.

Тогда можем записать вектор направляющий вектор n: n = (DС - D)/|DС - D|.

Так как у треугольника DCA все стороны равны, а угол CAB равен 60 градусам, то сторона DС равна DА, а это значит, что n = (DА - D)/|DА - D| = AD/|AD|.

Таким образом, уравнение прямой l принимает вид: DC(t) = D + t*(AD/|AD|).

Так как точка С принадлежит стороне ВС, то вектор DC будет параллелен стороне ВС. Значит, вектор DC можно представить в виде: DC = k*BC, где k - некоторое число.

Так как DC = D + t(AD/|AD|) и DC = kBC, то получаем, что между сторонами СВ и DА выполняется соотношение: D + t(AD/|AD|) = kBC.

Так как сторона АВС равносторонний, то все стороны равны, а значит, |DC| = |BC| = |AD|.

Тогда с учётом вышесказанного получим, что D + t(AD/|AD|) = kBC = kAD. Так как |AD| = |BC|, то это уравнение можно переписать в виде: D + t(AD/|AD|) = k*AD.

Поскольку стороны равностороннего треугольника равны, можем записать |BD| = |DA|. Поскольку треугольник АВС - равносторонний, то сторона АВ также равна сторонам ВС и АС.
Определяя длины сторон BD, DC, AD в треугольнике ДАС, можем записать:
BD = 2DAsin(DAC), DC = 2DAcos(DAC), так как угол при вершине равнстороннего треугольника - 30 градусов.
тогда получим норму вектора DC: |DC| = 2DA|cos(30)| = DA
Получаем, что уравнение DC: DC(t) = D + tn, где n = DC = AD
Теперь можем записать D + tAD = kAD => D = (k-t)AD.
Тогда k - t = 1, тогда D = AD
мы можем прировнять эти векторы: D = AD => (xB-xA, yB-yA, zB-zA) = (xA xA zA) получим, что yB - yA = xA, zB-zA = xA => yB = yA + xA, zB = zA+xA
Ответ: D = (xА, yА + xА, zА + xА)