Для начала обозначим вершины четырехугольника как A, B, C, D, а середины сторон как M, N, P, Q. По условию, диагонали четырехугольника перпендикулярны, что означает, что они пересекаются под прямым углом в точке O.
Теперь докажем, что четырехугольник MNPQ является прямоугольником. Рассмотрим треугольники AOM и CON. Они равны по двум сторонам (AO=OC, AM=MC), поэтому они равны по третьей стороне и по углу напротив этой стороны (углы OAM и OCN равны, так как диагонали перпендикулярны). Таким образом, треугольники AOM и CON равны.
Из равенства треугольников следует, что AO = CO и OM = CN. Таким образом, MP = 2OM и NQ = 2CN. Значит, MP = NQ.
Аналогично доказывается, что MN = PQ. Итак, все стороны четырехугольника MNPQ равны, то есть MNPQ является прямоугольником.
Таким образом, если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то середины его сторон действительно являются вершинами прямоугольника.
Для начала обозначим вершины четырехугольника как A, B, C, D, а середины сторон как M, N, P, Q. По условию, диагонали четырехугольника перпендикулярны, что означает, что они пересекаются под прямым углом в точке O.
Теперь докажем, что четырехугольник MNPQ является прямоугольником. Рассмотрим треугольники AOM и CON. Они равны по двум сторонам (AO=OC, AM=MC), поэтому они равны по третьей стороне и по углу напротив этой стороны (углы OAM и OCN равны, так как диагонали перпендикулярны). Таким образом, треугольники AOM и CON равны.
Из равенства треугольников следует, что AO = CO и OM = CN. Таким образом, MP = 2OM и NQ = 2CN. Значит, MP = NQ.
Аналогично доказывается, что MN = PQ. Итак, все стороны четырехугольника MNPQ равны, то есть MNPQ является прямоугольником.
Таким образом, если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то середины его сторон действительно являются вершинами прямоугольника.