Прямая AB касается окружности с центром O в точке B.
Найдите AB, если известно, что r = 1, а OA = 5√2.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку прямая AB касается окружности в точке B, то вектор OB равен вектору нормали к прямой AB, умноженному на длину радиуса окружности r.

Пусть вектор нормали к прямой AB имеет координаты (a, b). Тогда OB = (a, b) * r = (a, b), так как r = 1.

Так как прямая AB проходит через точку A с координатами (5√2, 0) и точку B с координатами (x, y), то вектор AB равен (x - 5√2, y).

Также, векторы AB и OB коллинеарны, что означает, что их скалярное произведение равно 0.

Таким образом, (x - 5√2, y) * (a, b) = 0.

Раскрывая скобки, получаем уравнение:
a(x - 5√2) + b*y = 0.

Так как вектор нормали к прямой AB перпендикулярен ей, то a/b = (5√2 - x)/y.

Имеем два уравнения:

Подставляем значение a из второго уравнения в первое и получаем:
(5√2 - x)(x - 5√2) + y^2 = 0.

Раскрывая скобки и учитывая, что r = 1, приходим к квадратному уравнению:
x^2 - 10√2x + 50 - √2x + 10 + 25 - 2 = 0.

Решая это квадратное уравнение, найдем два возможных значения x. Подставляя их в уравнение указанной прямой, найдем соответствующие y и найдем длину AB по формуле:
AB = √((x - 5√2)^2 + y^2).