В окружность диаметра 5 вписан треугольник, все стороны которого имеют целые длины. Найдите
его периметр (укажите все возможные варианты и докажите, что других нет).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть стороны треугольника равны a, b, c (a ≤ b ≤ c), тогда можем записать следующее неравенство:

a + b > c (1)
a + c > b (2)
b + c > a (3)

Так как треугольник вписан в окружность диаметра 5, то его стороны не могут быть больше 5, следовательно a, b, c ≤ 5.

Подставим значения a, b, c из диапазона 1, 2, 3, 4, 5 в неравенства (1), (2), (3) и получим все возможные варианты:

a = 1, b = 1, c = 1
a = 1, b = 1, c = 2
a = 1, b = 2, c = 2
a = 1, b = 2, c = 3

Докажем, что других вариантов нет. Предположим, что существует треугольник с целыми сторонами, вписанный в окружность диаметра 5, и его периметр больше 6. Это означает, что длины всех сторон треугольника больше 2, так как в противном случае периметр будет меньше 6. Но в таком случае длины сторон не поместятся в окружность диаметра 5, следовательно других вариантов нет.

Итак, периметр треугольника может быть равен 3, 4, 5, 6.