Перпендикуляр, который проведён из вершины прямоугольника к его диагонали, делит прямой угол в отношении 6 : 3. Вычисли острый угол между диагоналями прямоугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть a и b - стороны прямоугольника, а h - проведённый перпендикуляр из вершины. Тогда по условию задачи мы имеем следующие отношения:

a = 6x
b = 3x
h = 2x

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ADB с катетами a и b и гипотенузой d (диагональ прямоугольника) получаем:

a^2 + b^2 = d^2
(6x)^2 + (3x)^2 = d^2
36x^2 + 9x^2 = d^2
45x^2 = d^2
d = 3x√5

Так как прямые углы у треугольников ADB и AHC равны, то у треугольника AHC острый угол равен ∠ACB = ∠ADB.

Теперь найдем косинус угла ∠ACB:

cos(∠ACB) = AC / AH
cos(∠ACB) = a / h
cos(∠ACB) = 6x / 2x
cos(∠ACB) = 3

Теперь найдем угол ∠ACB:

∠ACB = arccos(3)
∠ACB ≈ 72.54°

Таким образом, острый угол между диагоналями прямоугольника равен примерно 72.54°.