Дано: АМ и СЕ - медианы треугольника ABC, треугольник ABC - равнобедренный, с основанием АС. Точка О - точка пересечения медиан треугольника АBC. Доказать: Треугольник АОС - равнобедренный

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Поскольку AM и SE - медианы треугольника ABC, то точка О - точка пересечения медиан, делит их в отношении 2:1. То есть, AO:OM = 2:1 и SO:OE = 2:1.

Так как треугольник ABC - равнобедренный, то AM и SE также являются биссектрисами углов треугольника. Из этого следует, что углы OAC и OBC равны, так как OA и OB суть угловые биссектрисы треугольника ABC.

Теперь рассмотрим треугольник AOS. Из того, что AO:OM = 2:1 и SO:OE = 2:1, следует, что треугольник AOS подобен треугольнику OME по стороне и углу, следовательно, также со сторонами и противоположными углами, что доказывает равнобедренность треугольника AOS.

Таким образом, треугольник АОС - равнобедренный.