Найдите углы и стороны четырехугольника с вершинами в серединах сторон равнобедренной трапеции, диагонали которой равны 1 0 и пересекаются под углом, равным 40°.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим вершины четырехугольника как A, B, C, D, где AB и CD - середины боковых сторон равнобедренной трапеции, а BC и AD - диагонали.

Поскольку пересечение диагоналей образует угол 40°, то угол BAC+BDC=140°.

Из теоремы косинусов для треугольника ABC
AC^2=AB^2+BC^2-2ABBCcos(40°
AC^2=1/4+1/4-2(1/4)cos(40°
AC^2=1/2-1/2*(cos(40°))

Из теоремы косинусов для треугольника ACD
AC^2=AD^2+CD^2-2ADCDcos(140°
AC^2=1/4+1/4-2(1/4)cos(140°
AC^2=1/2-1/2*(cos(140°))

Отсюда получаем
1/2-1/2(cos(40°))=1/2-1/2(cos(140°)
cos(40°)=cos(140°)

Таким образом, угол BAC=70°, а угол BDC=70°.

Теперь найдем длины сторон
Из свойств равнобедренной трапеции AB=CD=1/2, а из теоремы косинусов для треугольника ABC
AC^2=1/4+1/4-2(1/4)cos(40°
AC^2=1/2-(1/2)*cos(40°)

Отсюда получаем: AC=sqrt(1/2-(1/2)*cos(40°))≈0,663.

Итак, углы четырехугольника BACD равны 70°, длины сторон равны AB=CD=1/2, а AC≈0,663.