В равнобедренном треугольнике АСВ с основанием АВ провели медиану СС1 и биссектрису АА1. Найти угол АСВ, если АА1 = 2СС1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим угол ACS как а, угол CAS как b, а угол CAV (то есть угол в основании равнобедренного треугольника) как c.

Так как треугольник АСС1 является прямоугольным, то у нас есть следующее соотношение: тангенс угла a равен отношению длины сторон AC и CC1, то есть tg(a) = AC/CC1. Так как угол AА1С1 = 180 - 2a (так как угол AА1С1 - внешний к треугольнику АС1С), имеем tg(AА1С1) = tg(2a) = 2tg(a) = 2AC/CC1.

Теперь рассмотрим треугольник AAV. tg(c) = AV/VA1. Но так как AV = AC (как медиана) и VA1 = 2CC1 (как условие), então tg(c) = AC/2CC1.

Из полученных уравнений имеем AC/2CC1 = 2AC/CC1 и следовательно 4СС1 = AC. Угол САВ = 90, так как это равнобедренный прямоугольный треугольник, значит угол С - это половина угла AVA1. Получаем уравнение tg(45) = AC/2СС1, откуда следует AC = 2СС1.

Таким образом, условие AA1 = 2СС1 влечет за собой равенство AC = 2СС1, и таким образом, уравнение сprina/CC1 = 0,5 и a = 30.

Итак, угол ACS равен 30 градусам.