Трапеция ABCD с основанием AD=6 см вписана в окружность. Касательная к окружности в точке А пересекает прямые BD и CD в точках M и N соответственно. Найти AN, если AB перпендикулярна MD и AM = 3 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку AB перпендикулярна MD, то треугольник AMD прямоугольный и равнобедренный, так как прямоугольная сторона этого треугольника AM равна 3 см, а MD равна 3 см (по условию задачи).

Таким образом, AM = DM = 3 см.

Так как AB равна стороне трапеции и перпендикулярна MD, то AM также является высотой трапеции.

Рассмотрим треугольник АBM. По теореме Пифагора:

AB^2 = AM^2 + MB^2

AB^2 = 3^2 + MB^2

AB^2 = 9 + MB^2

Теперь рассмотрим треугольник АНМ. По теореме Пифагора:

AN^2 = AM^2 + MN^2

AN^2 = 3^2 + MN^2

AN^2 = 9 + MN^2

Так как AM = DM = 3 см, то треугольник ДМН является равнобедренным, и поэтому MD = MN.

Таким образом, MN равно 3 см.

Подставляем MN в уравнение для AN:

AN^2 = 9 + 3^2

AN^2 = 9 + 9

AN^2 = 18

AN = √18

AN = 3√2

Ответ: AN = 3√2 см.