У правильной треугольной призмы все ребра равны 18. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону основания и середину противоположной этой стороне бокового ребра призмы.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем длины высоты и радиуса вписанной окружности в основании призмы.

Поскольку треугольная призма является правильной, высота призмы равна (h = 18\sqrt{3}).

Теперь найдем радиус вписанной в треугольник окружности, обозначим его как (r). Согласно свойствам равностороннего треугольника, радиус вписанной окружности равен (r = \frac{a\sqrt{3}}{6}), где (a) - длина стороны треугольника (в данном случае (a = 18)).

Теперь найдем площадь сечения призмы. Для этого нужно найти высоту (h_1) треугольника, который образуется плоскостью сечения и высотой призмы. Согласно свойствам треугольника, (\frac{h_1}{r} = \frac{h}{a}), тогда (h_1 = \frac{rh}{a} = 3\sqrt{3}).

Площадь сечения призмы равна площади треугольника, высота которого равна (h_1), а основание - сторона треугольника, то есть (S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 3\sqrt{3} = 27\sqrt{3}).

Таким образом, площадь сечения призмы равна (27\sqrt{3}).