В треугольнике ABC A = 45°, B = 75°. На стороне АВ как на диаметре построена окружность, которая пересекает стороны АС и ВС в точках D и Е. Определите площадь треугольника ABC, если DE = 1.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку на стороне AB построена окружность как на диаметре, то угол BAC = 90°.

Теперь обратим внимание на треугольник ADE. Угол AED = 90°, поскольку AD является диаметром окружности. Таким образом, угол EAD = 180° - 90° - 45° = 45°. Значит, треугольник ADE равнобедренный со сторонами AD = AE.

Поскольку угол A равен 45°, а угол B равен 75°, то угол C = 180° - 45° - 75° = 60°.

Теперь применим закон синусов к треугольнику ABC:
AC/sin B = BC/sin A,
AC/sin 75° = BC/sin 45°,
AC/sin 75° = BC/√2/2,
AC = BC * sin 75° / √2/2.

Теперь рассмотрим треугольник ADE. Поскольку угол EAD = 45° и AD = AE, то DE = AD sin 45° = AC sin 45°.

Таким образом, DE = BC sin 75° sin 45° / √2/2.
Из условия DE = 1 получаем:
BC = √2/2 1/sin 75° 1/sin 45° = √2/2 1/cos 15° √2 = 1.

Теперь найдем площадь треугольника ABC, используя формулу для площади треугольника через две стороны и угол между ними:
S = 1/2 AC BC sin C = 1/2 1 1 sin 60° = √3/4.

Итак, площадь треугольника ABC равна √3/4.