В треугольнике ABC A = 45°, B = 75°. На стороне АВ как на диаметре построена окружность, которая пересекает стороны АС и ВС в точках D и Е. Определите площадь треугольника ABC, если DE = 1.
Поскольку на стороне AB построена окружность как на диаметре, то угол BAC = 90°.
Теперь обратим внимание на треугольник ADE. Угол AED = 90°, поскольку AD является диаметром окружности. Таким образом, угол EAD = 180° - 90° - 45° = 45°. Значит, треугольник ADE равнобедренный со сторонами AD = AE.
Поскольку угол A равен 45°, а угол B равен 75°, то угол C = 180° - 45° - 75° = 60°.
Теперь применим закон синусов к треугольнику ABC AC/sin B = BC/sin A AC/sin 75° = BC/sin 45° AC/sin 75° = BC/√2/2 AC = BC * sin 75° / √2/2.
Теперь рассмотрим треугольник ADE. Поскольку угол EAD = 45° и AD = AE, то DE = AD sin 45° = AC sin 45°.
Таким образом, DE = BC sin 75° sin 45° / √2/2 Из условия DE = 1 получаем BC = √2/2 1/sin 75° 1/sin 45° = √2/2 1/cos 15° √2 = 1.
Теперь найдем площадь треугольника ABC, используя формулу для площади треугольника через две стороны и угол между ними S = 1/2 AC BC sin C = 1/2 1 1 sin 60° = √3/4.
Поскольку на стороне AB построена окружность как на диаметре, то угол BAC = 90°.
Теперь обратим внимание на треугольник ADE. Угол AED = 90°, поскольку AD является диаметром окружности. Таким образом, угол EAD = 180° - 90° - 45° = 45°. Значит, треугольник ADE равнобедренный со сторонами AD = AE.
Поскольку угол A равен 45°, а угол B равен 75°, то угол C = 180° - 45° - 75° = 60°.
Теперь применим закон синусов к треугольнику ABC
AC/sin B = BC/sin A
AC/sin 75° = BC/sin 45°
AC/sin 75° = BC/√2/2
AC = BC * sin 75° / √2/2.
Теперь рассмотрим треугольник ADE. Поскольку угол EAD = 45° и AD = AE, то DE = AD sin 45° = AC sin 45°.
Таким образом, DE = BC sin 75° sin 45° / √2/2
Из условия DE = 1 получаем
BC = √2/2 1/sin 75° 1/sin 45° = √2/2 1/cos 15° √2 = 1.
Теперь найдем площадь треугольника ABC, используя формулу для площади треугольника через две стороны и угол между ними
S = 1/2 AC BC sin C = 1/2 1 1 sin 60° = √3/4.
Итак, площадь треугольника ABC равна √3/4.