В параллелограмме АВСD точка К - середина отрезка ВС. F - точка пересечения диагонали BD и отрезка AK. Докажите, что BF:BD = 1:3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия видим, что К - середина отрезка BC, поэтому BK = KC.
Также, так как F - точка пересечения диагонали BD и отрезка AK, то по теореме Талеса BF:FD = BK:KC.
Так как BK = KC, то BF:FD = 1:1.
Теперь заметим, что треугольник AFD подобен треугольнику CFB по двум сторонам и углу между ними, так как угол FAD = угол DCF (они оба соответственные углы при параллельных прямых AD и CB) и угол AFD общий у обоих треугольников.
Тогда соответственные стороны треугольников AFD и CFB пропорциональны, так как BF:FD = BC:CF.
Так как BF:FD = 1:1, а BC = 2CF (так как К - середина отрезка BC), то BF:FD = 1:2CF.
Отсюда находим, что 1:2CF = 1:1, а значит CF = FD.
Теперь заметим, что треугольник CFD - равнобедренный (так как CF = FD).
Тогда находим, что угол FCD = угол CFD.
Из этого следует, что угол BCF = угол FCD.
Тогда треугольники CFB и CFD подобны по двум углам, значит их соответствующие стороны пропорциональны: CF:FB = FD:CD.
Так как CF = FD, то FB:FD = FD:CD = 1:1.
Таким образом, FB:FD = 1:1, а также BF:FD = 1:1.
Следовательно, BF = FD = 1/2BD.
Таким образом, BF:BD = 1/2BD:BD = 1:2.
Отсюда получаем, что BF:BD = 1:3.