Все ребра правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 равны между собой. Вычислите площадь сечения плоскостью, содержащей точку С и прямую А1В1, если площадь боковой поверхности треугольной пирамиды СС1АВ равна √3+4.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь боковой поверхности треугольной пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.

Так как ребра призмы равны между собой, то периметр основания пирамиды равен 3l, где l - длина ребра призмы.

Также из геометрии треугольника СС1А (сечение плоскостью) следует, что высота треугольной пирамиды равна половине диагонали основания, то есть l/2.

Итак, площадь боковой поверхности пирамиды равна √3 + 4:

√3 + 4 = (1/2)3l(l/2) = (3l^2)/4

Отсюда получаем уравнение: 4√3 + 16 = 3l^2

Решаем это уравнение и находим l = 4.

Теперь находим площадь сечения плоскостью, содержащей точку С и прямую А1В1.

Так как прямая А1В1 параллельна основанию, то треугольник СС1М (где М - середина А1В1) подобен треугольнику СС1А, соответственно, отношение высот этих треугольников равно отношению сторон, то есть отношению l к l/2, то есть 2:1.

Таким образом, площадь сечения плоскости равна 2/3 от площади основания треугольной пирамиды:

S = 2/3 (l^2 / 4) = 2/3 16 = 32/3 или 10 2/3.

Итак, площадь сечения плоскостью равна 10 2/3.