Найдите объем параллелепипеда , если его основания имеет стороны , 3м и 4м , угол между ними 30градусов , а одна из диагоналей параллелепипеда имеет длину 6м и образует с плоскостью основания 30градусов

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем высоту параллелепипеда.

Известно, что одна из диагоналей параллелепипеда равна 6 м, а угол между этой диагональю и плоскостью основания составляет 30 градусов.

По теореме косинусов для треугольника, образованного диагональю, высотой и половиной одного из оснований, имеем:
$h^2 = 3^2 + \left(\frac{6}{2}\right)^2 - 2 \cdot 3 \cdot \frac{6}{2} \cdot \cos(30^\circ)$
$h^2 = 9 + 9 - 9 \cdot \sqrt{3}/2$
$h^2 = 18 - 9 \cdot \sqrt{3}$

Отсюда находим, что $h = \sqrt{18 - 9 \cdot \sqrt{3}}$.

Теперь найдем объем параллелепипеда:
$V = S_{\text{основания}} \cdot h = 3 \cdot 4 \cdot \cos(30^\circ) \cdot \sqrt{18 - 9 \cdot \sqrt{3}} = 12 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{18 - 9 \cdot \sqrt{3}} = 6 \cdot \sqrt{54 - 27 \cdot \sqrt{3}} \approx 6 \cdot \sqrt{27} \approx 6 \cdot 5.2 \approx 31.2$ м³.

Таким образом, объем параллелепипеда составляет примерно 31.2 м³.