В правильной треугольной призме диагональ боковой грани равна m и составляет со смежной боковой гранью угол φ. Вычислите объём призмы

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим высоту призмы через h.

Так как диагональ боковой грани является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами m и h, то можем записать:
(m^2 = h^2 + (l/2)^2),
где l - высота боковой грани.

Из условия задачи известно, что угол между боковой гранью и диагональю равен φ. Тогда можем записать:
(tg(\varphi) = \frac{h}{\frac{l}{2}} = \frac{2h}{l}).

Отсюда можно найти выражение для h:
(h = \frac{ml}{2\sqrt{4 + m^2}}).

Теперь вычислим объем призмы:
(V = \frac{l \cdot площадь основания}{2} = \frac{l \cdot h}{2} = \frac{l^2m}{4\sqrt{4 + m^2}}).

Таким образом, объем призмы составляет (\frac{l^2m}{4\sqrt{4 + m^2}}).