Найдите радиус окружности описанной около правильного многоугольника со стороной 24см,если радиус окружности вписанный в этот многоугольник,равен 4?(решение)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

R = a / 2sin(α),

где a - сторона многоугольника, α - внешний угол треугольника.

Так как внешний угол правильного многоугольника равен 360/n, где n - количество сторон многоугольника, то для правильного многоугольника можно записать:

α = 360/n.

Для вписанной окружности радиус равен r = a / 2tg(α/2).

Подставим известные значения:

4 = 24 / 2tg(360/2n),

tg(180/n) = 12 / 4 = 3.

Отсюда получаем tg(180/n) = 3, что равно sin(90/n) / cos(90/n) = 3

Отсюда следует, что sin(90/n) = 3cos(90/n).

Вспоминаем формулу половинного угла для тангенса:

tg(90/n) = 2tg(45/n) / (1 - tg^2(45/n)) = 1/3.

Решив уравнение, получаем, что n = 6.

Теперь находим радиус описанной окружности:

R = 24 / 2sin(360/6) = 24 / 2sin(60) = 24 / 2*sqrt(3)/2 = 12/ sqrt(3) = 4sqrt(3).