Площадь правильного треугольника больше вписанного в него круга на 27√3 - 9π. Найдите радиус круга.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть сторона треугольника равна a, тогда площадь треугольника равна S = (√3 * a^2) / 4. Радиус вписанного в треугольник круга равен r, площадь круга равна πr^2.

Согласно условию задачи, S - πr^2 = 27√3 - 9π.

Подставляем значения S и радиуса круга:
(√3 * a^2) / 4 - πr^2 = 27√3 - 9π.

Так как треугольник правильный, то a = 2r / √3.

Подставляем это значение в уравнение:
(√3 * (2r / √3)^2) / 4 - πr^2 = 27√3 - 9π.

Упрощаем уравнение:
(√3 (4r^2 / 3)) / 4 - πr^2 = 27√3 - 9π,
(4√3r^2) / 12 - πr^2 = 27√3 - 9π,
√3r^2 / 3 - πr^2 = 27√3 - 9π,
(√3 - 3π)r^2 / 3 = 27√3 - 9π,
(√3 - 3π)r^2 = 81√3 - 27π,
r^2 = (81√3 - 27π) / (√3 - 3π),
r^2 = 81 - 27√3π - 27π / √3 - 3π,
r^2 = 81 - 27π(√3 + 1) / √3 - 3π,
r^2 = 81 - 27π(√3 + 1) / √3 - 3π √3 / √3 - 3π,
r^2 = 81 - 27π√3 - 27π / 3 - 3π,
r^2 = 81 - 27π√3 - 9π,
r^2 = 81 - 9π(3 + √3),
r^2 = 81 - 27π - 9π√3.

Таким образом, радиус круга равен r = √(81 - 27π - 9π√3).