Медианы AM и BN треугольника ABC перпендикулярны и пересекаются в точке P.докажите, что CP=AB

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Пусть точки M и N делят стороны AC и BC соответственно в отношении k:1, то есть AM = k MC и BN = k NC.

Так как AM и BN - медианы треугольника ABC, то точки M и N делят стороны на равные отрезки, то есть AM = MC и BN = NC.

Таким образом, уравнения AM = k MC и AM = MC переписываются в виде AM = k AM, откуда следует, что k = 1.

Из этого следует, что точки M и N делят стороны AC и BC пополам, то есть AM = MC = 1/2 AC и BN = NC = 1/2 BC.

Таким образом, точка P, в которой пересекаются медианы AM и BN, является центром тяжести треугольника ABC.

Отсюда следует, что отрезок CP делит медиану AM в отношении 2:1, а следовательно, CP = 1/3 AM = 1/3 AC.

Так как AM = AC/2, то CP = AC/6.

Аналогично, мы можем показать, что точка P делит медиану BN в отношении 2:1, откуда BN = 1/3 * BC, и следовательно, CP = BC/6.

Таким образом, CP = AC/6 = BC/6.

Отсюда следует, что AC = BC, то есть стороны треугольника равны.

Следовательно, CP = AB.

Таким образом, доказано, что CP = AB.