Основанием параллелепипеда служит ромб. Сторона ромба равна альфа, а острый угол равен 60 градусов. Меньшая диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью боковой грани угол 45 градусов. найдите площадь полной поверхности параллелепипеда

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть A, B, C - вершины ромба, длина стороны равна alpha,
F, G, H - вершины параллелепипеда, F и G лежат в плоскости ACB, H - противоположная вершине F.
Тогда:
1) Угол между диагональю ромба (AG) и стороной ромба (AB) равен 60 градусов;
2) Угол между меньшей диагональю параллелепипеда (FG) и плоскостью, содержащей боковую грань (ФGН), равен 45 градусов.

Площадь ромба можно найти по формуле S = (1/2)alpha^2sin(60) = alpha^2*(sqrt(3))/4.

Точка G - середина диагонали ромба, поэтому треугольник AGF равнобедренный и угол AFG равен 60 градусов. Так как угол GFA равен 90 градусов (по условию построения параллелепипеда), то угол AGF равен 30 градусов.

Теперь обратимся к треугольнику AFG. Так как угол AFG равен 45 градусов, то угол FAG также равен 45 градусов, и FG является диагональю квадрата, построенному на стороне ромба. Значит, длина этой диагонали равна alphasqrt(2), а S_FG = (1/2)alpha^2.

Теперь можем найти площадь боковой грани параллелепипеда: S_бок = 2S_FG + S_AG = 2((1/2)alpha^2) + (alpha^2(sqrt(3))/4) = alpha^2*(2 + sqrt(3))/2.

Так как всего четыре боковые грани, площадь полной поверхности параллелепипеда равна 4S_бок = alpha^2(8 + 4sqrt(3))/2 = alpha^2(4 + 2*sqrt(3)).

Итак, площадь полной поверхности параллелепипеда равна alpha^2(4 + 2sqrt(3)).